[SDCTIE GRACELI EM DIMENSÕES FÍSICAS, QUÍMICA E TRANSICIONAIS]. EM Tensor de Einstein E ação de Einstein–Hilbert ou ação de Hilbert

 

Tensor de Einstein

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Em geometria diferencial, o tensor de Einstein (também tensor de traço revertido de Ricci), nomeado em relação a Albert Einstein, é usado para expressar a curvatura de uma variedade de Riemann. Em relatividade geral, o tensor de Einstein aparece nas equações de campo de Einstein para a gravitação descrevendo a curvatura do espaço-tempo.

Definição

O tensor de Einstein ${\displaystyle \mathbf {G} }$ é um tensor de ordem definido sobre variedades riemannianas. Ele é definido como

${\displaystyle \mathbf {G} =\mathbf {R} -{\frac {1}{2}}\mathbf {g} R,}$ [SDCTIE GRACELI EM DIMENSÕES FÍSICAS, QUÍMICA E TRANSICIONAIS].

sendo ${\displaystyle \mathbf {R} }$ o tensor de Ricci, ${\displaystyle \mathbf {g} }$ o tensor métrico e ${\displaystyle R}$ o escalar de curvatura de Ricci. Em notação com índices, o tensor de Einstein tem a forma

${\displaystyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g_{\mu \nu }R.}$ [SDCTIE GRACELI EM DIMENSÕES FÍSICAS, QUÍMICA E TRANSICIONAIS].

[SDCTIE GRACELI EM DIMENSÕES FÍSICAS, QUÍMICA E TRANSICIONAIS]. EM Tensor de Einstein E ação de Einstein–Hilbert ou ação de Hilbert 

A ação de Einstein–Hilbert ou ação de Hilbert na relatividade geral é uma ação que torna eficiente as equações de campo de Einstein através do princípio da mínima ação. Segundo a convenção de sinal da teoria da relatividade, esta ação pode ser escrita como:^[1]

${\displaystyle S=-{1 \over 2\kappa }\int R{\sqrt {-g}}d^{4}x\;,}$[SDCTIE GRACELI EM DIMENSÕES FÍSICAS, QUÍMICA E TRANSICIONAIS].

onde ${\displaystyle g}$ é o determinante do tensor métrico, ${\displaystyle R}$ é o escalar de curvatura de Ricci, e ${\displaystyle \kappa =8\pi Gc^{-4}}$, onde ${\displaystyle G}$ é a constante gravitacional de Newton e ${\displaystyle c}$ é a constante da velocidade da luz no vácuo. A integral é dada sobre o espaço-tempo.

Esta ação foi inicialmente proposta por David Hilbert em 1915.

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Definição

A derivação de equações a partir de uma ação possui várias vantagens. Primeiro ele possibilita uma fácil unificação da teoria da relatividade geral com outras teorias de campo clássicas (como por exemplo a equações de Maxwell, que é também formulada em termos de ação. Neste processo a derivação de uma ação identifica um candidato natural para o acoplamento do termo fonte da métrica de campos. Segundo, a ação possibilita uma fácil identificação da energia conservada através teorema de Noether pelo estudo simétrico da ação.

Na relatividade geral, a ação é normalmente definida como uma função de campo e a conexão é dada pela conexão de Levi-Civita. O formalismo de Cartan da relatividade geral define a métrica e a conexão como sendo independentes, o que torna possível de se incluir campos de matéria fermiônica com spin não inteiros.